Nombres complexes et triangle rectangle

Soit  \(\text A,\text B,\text C\)  trois points deux à deux distincts et d'affixes respectives  \(z_\text A,z_\text B,z_\text C\) . Pour prouver que le triangle  \(\text A\text B\text C\)  est rectangle en  \(\text A\) , il suffit de prouver que  \(\dfrac{z_\text C-z_\text A}{z_\text B-z_\text A}\)  est un imaginaire pur ou encore que  \(\arg(\dfrac{z_\text C-z_\text A}{z_\text B-z_\text A} )=\dfrac{\pi}{2}\lbrack\pi\rbrack\) , c'est-à-dire  \(\dfrac{\pi}{2}\lbrack2\pi\rbrack\)  ou  \(\dfrac{-\pi}{2}\lbrack2\pi\rbrack\) .

Exemple

Soit  \(\text A,\text B,\text C\)  trois points d'affixes respectives  \(-2, 1+i, -1-3i\) . On veut démontrer que le triangle  \(\text A\text B\text C\)  est rectangle en  \(\text B\) .

\(\dfrac{z_\text A-z_\text B}{z_\text C-z_\text B}=\dfrac{2-(3+i\sqrt{3})}{2i\sqrt{3}-(3+i\sqrt{3})}=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{-3+i\sqrt{3}}\)

À ce stade, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du complexe figurant au dénominateur, on obtient alors :  \(\dfrac{(-1-i\sqrt{3})(-3-i\sqrt{3})}{(-3+i\sqrt{3})(-3-i\sqrt{3})}=\dfrac{3\sqrt{3}i+i\sqrt{3}}{12}=i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) .
Ainsi  \(\arg(\dfrac{z_\text A-z_\text B}{z_\text C-z_\text B} )=\dfrac{\pi}{2}\lbrack2\pi\rbrack\) .

Donc, le triangle  \(\text A\text B\text C\)  est bien rectangle en  \(\text B\) .